die beispiele sind etwas verrutscht aber es gibt echt keine lösung *g* komisch ich war mir da eigentlich sicher, das es eine gibt.. naja 3 Häuser mit Gas, Wasser und Strom versorgen ohne daß sich die Leitungen kreuzen 3 Häuser sollen je mit Gas, Wasser und Strom versorgt werden. Die Leitungen sollen sich nicht kreuzen, es gibt keine Knotenpunkte oder Verteilstationen. Ferner sind "Reihenschaltungen" nicht möglich. Wie verlaufen die Leitungen? ____________________________________________________________________ Lösung: Für dieses Problem gibt's keine Lösung. Wie kann man das zeigen? Fang mit zwei Häusern (1, 2) und zwei Versorgern (A, B) an. Die Versorgungsleitungen ergeben dann immer ein Viereck, etwa so: 1 / \ / \A B \ / \ / 2 Man kann die Linien zwar beliebig verschnörkeln und die Punkte verschieben, aber letztlich ist das Ergebnis immer das gleiche: eine abgeschlossene Fläche innerhalb der vier Leitungen. So, jetzt kommt der dritte Versorger © dazu. Dessen Startpunkt kann innerhalb oder außerhalb der geschlossenen Fläche liegen, und wieder können die Leitungen beliebig verschnörkelt gelegt werden. Wenn man die Leitungen "strafft" und die Punkte etwas zurechtrückt, wird das Ergebnis aber immer so oder ähnlich aussehen: 1 1 /|\ /|\ / | \ / | \A C B oder A B C \ | / \ | / \|/ \|/ 2 2 Damit wird auch schon klar: egal, wo das dritte Haus steht, es kann nicht mehr wie gefrodert mit A, B und C verbunden werden. Wenn es außerhalb liegt, kann es nicht mit dem mittleren der drei Versorger verbunden werden, weil der "eingesperrt" ist. Wenn das dritte Haus in einer der beiden Teilflächen liegt, ist der dritte Versorger "ausgesperrt". Warum gibt es nun keine Lösung dafür? Das ist in dieser Ebene nicht möglich. Das läßt sich mit dem Polyeder-Satz von Euler beweisen: dieser Graph, um einen solchen handelt es sich hier, ist nicht planar (ich will das hier nicht näher definieren, das würde den Rahmen sprengen). Es kann hier also keine Lösung geben! Übrigens: Auf einem Torus ("Reifenschlauch") würde es funktionieren ;-)